"Kohti ääretöntä ja sen yli!"
Oletko edes ajatellut syvästi Buzz Lightyearin kuuluisaa lauseosaa "Toy Story" -elokuvissa? Luultavasti ei. Mutta ehkä olet joskus katsellut yötaivaalle ja ihmettellyt itse äärettömyyden luonteesta.
Äärettömyys on outo käsite, jota ihmisen aivoilla on vaikea kietoa rajoitetun ymmärryksensä ympärille. Sanomme, että maailmankaikkeus voi olla ääretön, mutta voiko se todella jatkaa ikuisesti? Tai pi-numerot desimaalin jälkeen - juoksevatko ne todella loputtomasti, antaen meille aina paljon enemmän tarkkuutta ympyrän kehän ja säteen suhteessa? Ja voisiko Buzz olla oikeassa? Onko jotain äärettömyyden ulkopuolella?
Jotta voitaisiin puuttua näihin mielenkiintoisiin spekulaatioihin, Live Science värväsi matemaatikon Henry Towsnerin Philadelphian Pennsylvanian yliopistosta. Hän oli kyllä ystävällinen yrittäessään vastata kysymykseen "Voitko laskea viimeisen äärettömyyden?" (Ole varoitettu: tästä tulee hankalaa.)
Towsner sanoi, että äärettömyys istuu oudossa paikassa: Useimmat ihmiset tuntevat tuntevansa käsitystä intuitiosta, mutta mitä enemmän he ajattelevat sitä, sitä omituisempaa se saa.
Matemaatikot sen sijaan eivät ajattele äärettömyyttä yksinään käsitteenä, hän lisäsi. Pikemminkin he käyttävät erilaisia tapoja ajatella sitä saadakseen sen moniin puoliin.
Esimerkiksi, äärettömyyttä on erikokoisia. Tämän todisti saksalainen matemaatikko Georg Cantor 1800-luvun lopulla Skotlannin St Andrews -yliopiston historian mukaan.
Cantor tiesi, että luonnolliset luvut - eli kokonaiset positiiviset numerot, kuten 1, 4, 27, 56 ja 15 687 - jatkuvat ikuisesti. Ne ovat äärettömiä, ja he käyttävät myös asioita laskemaan, joten hän määritteli ne olevan "laskettavan äärettömiä" historiaa, matematiikkaa ja muita aiheita käsittelevän hyödyllisen sivuston mukaan, jonka on antanut sarjakuvapiirtäjä Charles Fisher Cooper.
Ryhmillä, jotka ovat laskettavasti äärettömiä, on mielenkiintoisia ominaisuuksia. Esimerkiksi parilliset numerot (2, 4, 6 jne.) Ovat myös laskettavissa äärettömiä. Ja vaikka heitä on teknisesti puoli niin monta kuin mitä kaikki luonnolliset numerot kattavat, he ovat silti samanlaisia äärettömiä.
Toisin sanoen, voit sijoittaa kaikki parilliset numerot ja kaikki luonnolliset numerot vierekkäin kahteen sarakkeeseen ja molemmat sarakkeet menevät äärettömyyteen, mutta ne ovat sama äärettömyyden "pituus". Tämä tarkoittaa, että puolet laskettavasta äärettömyydestä on silti ääretöntä.
Mutta Cantorin suuri käsitys oli ymmärtää, että oli olemassa muitakin numerosarjoja, jotka olivat äärettömästi äärettömiä. Oikeat numerot - jotka sisältävät sekä luonnolliset numerot että fraktiot ja irrationaaliset numerot, kuten pi -, ovat äärettömämpiä kuin luonnolliset numerot. (Jos haluat tietää kuinka Cantor teki sen ja osaa käsitellä joitain matemaattisia merkintöjä, voit tarkistaa tämän taulukon Mainen yliopistosta.)
Jos rivittäisit kaikki luonnolliset numerot ja kaikki reaaliluvut vierekkäin kahteen sarakkeeseen, todelliset luvut ulottuisivat luonnollisten lukujen äärettömyyden yli. Kantori meni myöhemmin hulluksi, todennäköisesti syistä, jotka eivät liittyneet hänen työhönsä äärettömyyteen, Cooperin mukaan.
Mitä lasketaan?
Joten, takaisin kysymykseen laskea menneisyyden ääretön. "Se mitä matematiikka saa sinut kysymään, on:" Mitä se oikeastaan tarkoittaa? "Towsner sanoi. "Mitä tarkoitat laskemalla viimeinen äärettömyys?"
Päästäkseen asiaan Towsner puhui järjestysluvuista. Toisin kuin kardinaaliluvut (1, 2, 3 ja niin edelleen), jotka kertovat kuinka monta asioita on joukossa, ordinaalit määritellään niiden asemien perusteella (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.), Ja ne otettiin myös matematiikkaan Kantori, matemaattisen verkkosivuston Wolfram MathWorld mukaan.
Järjestysluvuissa on omega-niminen käsite, jota merkitään kreikkalaisella kirjaimella ω, Towsner sanoi. Symboli ω määritellään asiaksi, joka tulee kaikkien muiden luonnollisten lukujen jälkeen - tai, kuten Cantor kutsui sitä, ensimmäiseksi transfinite ordinaaliksi.
Mutta yksi numeroita koskevista asioista on, että voit aina lisätä uuden lopun, sanoi Towsner. Joten on olemassa sellainen asia kuin ω + 1 ja ω + 2 ja jopa ω + ω. (Jos ihmettelet, osut lopulta numeroon nimeltään ω1, joka tunnetaan nimellä ensimmäinen lukematon ordinaali.)
Ja koska laskenta on sellainen kuin lisälukujen lisääminen, näiden käsitteiden avulla voit laskea äärettömyyden yli, Towsner sanoi.
Kaiken tämän omituisuus on osa syytä, jonka vuoksi matemaatikot vaativat tarkkaan määrittelemään ehtojaan, hän lisäsi. Ellei kaikki ole kunnossa, ihmisen normaalia intuitioamme on vaikea erottaa siitä, mikä voidaan todistaa matemaattisesti.
"Matematiikka kertoo sinulle" Tarkastele syvästi, mikä on merkitystä? "Towsner sanoi.
Meille pelkille kuolevaisille nämä ajatukset saattavat olla vaikeaa laskea kokonaan. Kuinka tarkalleen ottaen työskentelevät matemaatikot käsittelevät kaiken tämän hauskan liiketoiminnan päivittäisessä tutkimuksessaan?
"Suuri osa siitä on harjoittelua", Towsner sanoi. "Kehität uusia intuitioita alttiina, ja kun intuitio epäonnistuu, voit sanoa:" Puhumme täsmällisestä vaiheittaisesta tiukasta todisteesta. " Joten jos tämä todiste on yllättävä, voimme silti tarkistaa sen oikeellisuuden ja oppia sitten kehittämään uuden intuition sen ympärille. "
