Oliko ryhmä matemaatikoita juuri askeleen kohti vastausta 160-vuotiaan miljoonan dollarin kysymykseen matematiikassa?
Voi olla. Miehistö ratkaisi joukon muita pienempiä kysymyksiä numeroteorian nimeltä kentältä. Ja näin tehdessään he ovat avanneet uudelleen vanhan kadun, joka saattaa johtaa vastaukseen vanhaan kysymykseen: Onko Riemannin hypoteesi oikea?
Reimannin hypoteesi on perustavanlaatuinen matemaattinen olettamus, jolla on valtavat vaikutukset muuhun matematiikkaan. Se muodostaa perustan monille muille matemaattisille ideoille - mutta kukaan ei tiedä onko se totta. Sen pätevyydestä on tullut yksi matematiikan tunnetuimmista avoimista kysymyksistä. Se on yksi seitsemästä "Millennium-ongelmasta", jotka esitettiin vuonna 2000, lupauksella, että kuka tahansa ratkaisee ne voittaa miljoona dollaria. (Vain yksi ongelmista on sittemmin ratkaistu.)
Mistä tämä idea tuli?
Vuonna 1859 saksalainen matemaatikko nimeltä Bernhard Riemann ehdotti vastausta erityisen hankalaan matematiikkayhtälöön. Hänen hypoteesinsa on seuraava: Riemannin zeta-funktion jokaisen ei-triviaalin nollan todellinen osa on 1/2. Se on melko abstrakti matemaattinen lause, joka liittyy siihen, mitä lukuja voit laittaa tiettyyn matemaattiseen funktioon, jotta funktiosta saadaan nolla. Mutta osoittautuu, että sillä on paljon merkitystä, mikä tärkeintä kysymyksissä siitä, kuinka usein kohtaat alkuluvut, kun laskeudut äärettömyyteen.
Palaamme hypoteesin yksityiskohtiin myöhemmin. Mutta tärkeä asia nyt tietää, että jos Riemannin hypoteesi on totta, se vastaa moniin matematiikan kysymyksiin.
"Niin usein numeroteoriassa tapahtuu niin, että jos olettaa Riemannin hypoteesin, pystyt todistamaan kaikenlaisia muita tuloksia", Lola Thompson, Ohion Oberlinin yliopiston numeroteoreetikko, joka ei ollut mukana tässä viimeisimmässä tutkimuksessa, sanoi.
Usein hän kertoi Live Sciencelle, että numeroteoreetikot todistavat ensin, että jokin on totta, jos Riemannin hypoteesi on totta. Sitten he käyttävät tätä todistetta eräänlaisena askelta kohti monimutkaisempia todisteita, mikä osoittaa, että heidän alkuperäiset päätelmänsä ovat totta, onko Riemannin hypoteesi totta.
Se, että tämä temppu toimii, vakuuttaa monet matemaatikot, että Riemannin hypoteesin on oltava totta.
Mutta totuus on, että kukaan ei tiedä varmasti.
Pieni askel todisteita kohti?
Joten kuinka tämä pieni matemaatikkojoukko näytti tuovan meidät lähemmäksi ratkaisua?
"Mitä olemme tehneet paperissamme", sanoi Emoryn yliopiston numeroteoreetikko ja uuden todisteen tekijä Ken Ono, "onko meille tarkistettu erittäin tekninen peruste, joka vastaa Riemannin hypoteesia ... ja osoitimme suuren osoitimme suuren osan tästä kriteeristä. "
"Riemannin hypoteesia vastaava kriteeri" viittaa tässä tapauksessa erilliseen lausuntoon, joka on matemaattisesti vastaava Riemannin hypoteesia.
Ensi silmäyksellä ei ole selvää, miksi nämä kaksi lausuntoa ovat niin yhteydessä toisiinsa. (Arviointiperuste liittyy "Jensen-polynomien hyperbolisuuteen".) Mutta 1920-luvulla unkarilainen matemaatikko nimeltä George Pólya osoitti, että jos tämä kriteeri on totta, niin Riemannin hypoteesi on totta - ja päinvastoin. Se on vanha ehdotettu reitti hypoteesin todistamiseen, mutta se oli suurelta osin hylätty.
Ono ja hänen kollegansa todistivat 21. toukokuuta julkaisussa Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) lehdessä 21. toukokuuta, että kriteeri on totta.
Mutta matematiikassa monet eivät riitä laskemaan todisteeksi. Joissakin tapauksissa he eivät tiedä onko kriteeri tosi vai epätosi.
"Se on kuin miljoonan numeron Powerballin pelaaminen", Ono sanoi. "Ja tiedät kaikki numerot paitsi viimeiset 20. Jos edes yksi näistä 20 viimeisestä numerosta on väärässä, menetät. ... Se voi silti kaikki hajota."
Tutkijoiden olisi keksittävä vieläkin edistyneempi todiste kriteerin todenmukaisuudesta kaikissa tapauksissa, mikä todistaa Riemannin hypoteesin. Ja ei ole selvää, kuinka kaukana tällainen todiste on, Ono sanoi.
Joten kuinka iso juttu tämä paperi on?
Riemannin hypoteesin suhteen on vaikea sanoa, kuinka suuri kauppa tämä on. Paljon riippuu siitä, mitä tapahtuu seuraavaksi.
"Tämä on vain yksi monista vastaavista Riemann-hypoteesin formulaatioista", Thompson sanoi.
Toisin sanoen, on olemassa paljon muita ideoita, jotka tämän kriteerin tavoin todistavat Riemannin hypoteesin olevan totta, jos ne itse todistetaan.
"Joten, on todella vaikea tietää kuinka paljon edistystä tämä on, koska toisaalta se on edistynyt tähän suuntaan. Mutta vastaavia formulaatioita on niin paljon, että ehkä tämä suunta ei tuota Riemannin hypoteesia. Ehkä yksi sen sijaan muut vastaavat lauseet, jos joku voi todistaa yhden niistä ", Thompson sanoi.
Jos todisteet osoittavat tätä tietä, Ono ja hänen kollegansa ovat kehittäneet tärkeän taustan Riemann-hypoteesin ratkaisemiseksi. Mutta jos se ilmestyy jostain muualta, tämä paperi osoittautuu vähemmän tärkeäksi.
Silti matemaatikot ovat vaikuttuneita.
"Vaikka tämä on kaukana Riemannin hypoteesin todistamisesta, se on iso askel eteenpäin", Encrico Bombieri, Princetonin numeroteoreetikko, joka ei ollut mukana ryhmän tutkimuksessa, kirjoitti mukanaan 23. toukokuuta PNAS-artikkelissa. "Ei ole epäilystäkään siitä, että tämä artikkeli inspiroi edelleen perustyötä muilla lukuteorian aloilla sekä matemaattisessa fysiikassa."
(Bombieri voitti Fields-mitalin - arvostetuimman matematiikan palkinnon - vuonna 1974) suurelta osin Riemannin hypoteesiin liittyvästä työstä.)
Mitä Riemannin hypoteesi tarkoittaa joka tapauksessa?
Lupasin, että palaamme tähän. Tässä taas Riemannin hypoteesi: Riemannin zeta-funktion jokaisen ei-triviaalisen nollan todellinen osa on 1/2.
Tarkastellaan sitä sen mukaan, kuinka Thompson ja Ono selittivät sen.
Ensinnäkin, mikä on Riemannin zeta-toiminto?
Matematiikassa funktio on suhde eri matemaattisten suureiden välillä. Yksinkertainen voi näyttää tältä: y = 2x.
Riemannin zeta-toiminto noudattaa samoja perusperiaatteita. Vain se on paljon monimutkaisempi. Tässä se näyttää.
Se on summa äärettömästä sekvenssistä, jossa kukin termi - ensimmäiset muutamat ovat 1/1 ^ s, 1/2 ^ s ja 1/3 ^ s - lisätään aiempiin termeihin. Nämä ellipsit tarkoittavat, että funktion sarja jatkuu niin, ikuisesti.
Nyt voimme vastata toiseen kysymykseen: Mikä on Riemannin zeta-funktion nolla?
Tämä on helpompaa. Funktion "nolla" on mikä tahansa luku, jonka voit laittaa x: lle, mikä aiheuttaa funktion yhtä suureksi kuin nolla.
Seuraava kysymys: Mikä on yhden näistä nolla "todellinen osa", ja mitä se tarkoittaa, että se on 1/2?
Riemannin zeta-funktio sisältää sen, mitä matemaatikot kutsuvat "monimutkaisiksi numeroiksi". Monimutkainen luku näyttää tältä: a + b * i.
Tässä yhtälössä "a" ja "b" tarkoittavat mitä tahansa todellisia lukuja. Oikea luku voi olla mikä tahansa miinus 3: sta nollaan, arvoon 4,9234, pi tai 1 miljardi. Mutta on olemassa toisenlainen numero: kuvitteelliset numerot. Kuvitteettomia lukuja syntyy, kun otat negatiivisen luvun neliöjuuren, ja ne ovat tärkeitä, ja ne näkyvät kaikenlaisissa matemaattisissa yhteyksissä.
Yksinkertaisin kuvitteellinen luku on -1: n neliöjuuri, joka kirjoitetaan "i". Kompleksiluku on reaaliluku ("a") plus toinen reaaliluku ("b") kertaa i. Kompleksinumeron "todellinen osa" on "a".
Muutamia Riemann-zeta-funktion nollia, negatiivisia kokonaislukuja välillä -10 ja 0, ei lasketa Reimann-hypoteesiin. Niitä pidetään "triviaaleina" nollana, koska ne ovat todellisia lukuja, eivät monimutkaisia lukuja. Kaikki muut nollat ovat "ei-triviaalia" ja monimutkaisia numeroita.
Riemannin hypoteesissa todetaan, että kun Riemannin zeta-funktio ylittää nollan (lukuun ottamatta niitä nollia, jotka ovat välillä -10 ja 0), kompleksiluvun todellisen osan on oltava yhtä suuri kuin 1/2.
Tuo pieni väite ei ehkä kuulosta kovin tärkeältä. Mutta se on. Ja voimme olla vain teini-ikäinen vähän lähempänä ratkaisua.
