Matemaatikot ovat löytäneet suuren määrän todisteita yhdestä matematiikan kuuluisimmista todistamattomista ideoista, joka tunnetaan kaksoisperiaatteena. Mutta reitti, jonka he käyttivät löytääkseen todisteita, ei todennäköisesti auta todistamaan itse kaksoisarvioita.
Kaksinkertaisessa oletuksessa on kyse siitä, kuinka ja milloin alkuluvut - numerot, jotka ovat jaettavissa vain itsestään ja 1 - ilmestyvät numeroriville. "Kaksoisprimesit" ovat primejä, jotka ovat kahden askeleen päässä toisistaan tällä linjalla: 3 ja 5, 5 ja 7, 29 ja 31, 137 ja 139 ja niin edelleen. Kaksoisprosessissa todetaan, että kaksoisprimejä on äärettömän monta ja että kohdat niitä jatkuvasti riippumatta siitä, kuinka kauas olet mennyt numeroviivalle. Siinä todetaan myös, että niiden välillä on äärettömän monta alkuparia, joilla on kaikki mahdolliset raot (alkuparit, jotka ovat neljä askelta toisistaan, kahdeksan askelta toisistaan, 200 000 askelta toisistaan jne.). Matemaatikot ovat melko varmoja, että tämä on totta. Se varmasti näyttää totta. Ja jos se ei olisi totta, se tarkoittaisi, että alkuluvut eivät ole niin satunnaisia kuin kaikki ajattelivat, mikä sekoittaisi paljon ideoita siitä, kuinka numerot toimivat yleensä. Mutta kukaan ei ole koskaan pystynyt todistamaan sitä.
Ne saattavat kuitenkin olla lähempänä kuin koskaan ennen. Kuten Quanta ensin kertoi, 12. elokuuta julkaistussa lehdessä arXiv, kuten Quanta ensin kertoi, kaksi matemaatikkoa osoittivat, että kaksoisperiaatteet ovat totta - ainakin eräässä vaihtoehtoisessa universumissa.
Tätä matemaatikot tekevät: työskentelevät kohti suuria todisteita todistamalla pienempiä ideoita matkan varrella. Joskus noista pienemmistä todisteista opitut ohjeet voivat auttaa suurempien todisteiden laatimisessa.
Tässä tapauksessa matemaatikot Will Sawin Columbian yliopistosta ja Mark Shusterman Wisconsinin yliopistosta osoittivat version "äärellisten kenttien" vaihtoehtoisen maailmankaikkeuden kaksoisprosessista: numerojärjestelmät, jotka eivät mene äärettömyyteen kuten numeroviiva, vaan mieluummin kuin itsensä.
Voit todennäköisesti kohdata rajallisen kentän joka päivä kellon edessä. Se menee 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ja kääntyy sitten takaisin pisteeseen 1. Silloin äärellisessä kentässä 3 + 3 on silti yhtä kuin 6. Mutta 3 + 11 = 2.
Rajoitetuissa kentissä on polynomeja tai lausekkeita, kuten "4x" tai "3x + 17x ^ 2-4", Sawin kertoi Live Sciencelle, aivan kuten tavalliset numerot. Hän sanoi, että matemaatikot ovat oppineet, että äärellisten kenttien yli olevat polynomit käyttäytyvät paljon kuin kokonaisluvut - kokonaisluvut numerorivillä. Lauseilla, jotka ovat totta kokonaisluvuissa, on taipumus olla luottamuksellisia myös äärellisten kenttien polynomien suhteen ja päinvastoin. Ja aivan kuten alkuluvut tulevat pareittain, polynomit tulevat pareittain. Esimerkiksi 3x + 17x ^ 2-4 kaksoset ovat 3x + 17x ^ 2-2 ja 3x + 17x ^ 2-6. Ja hieno asia polynomien suhteen, Sawin sanoi, että toisin kuin kokonaislukut, kun piirrät ne kuvaajalle, ne tekevät geometrisia muotoja. Esimerkiksi 2x + 1 tekee kaavion, joka näyttää tältä:
Ja 5x + x ^ 2 tekee kaavion, joka näyttää tältä:
Koska polynomit kuvaavat muotoja pikemminkin kuin pisteitä, joita saat kun kuvaajat yksittäisiä alkulukuja, voit geometrian avulla todistaa polynomien asioita, joita et voi todistaa yksinkertaisista kokonaisluvuista.
"Emme olleet ensimmäiset, jotka huomasivat, että voit käyttää geometriaa ymmärtääksesi äärellisiä kenttiä", Shusterman kertoi Live Science: lle.
Muut tutkijat olivat todistaneet pienemmät versiot kaksoisprimeien hypoteesista tietyntyyppisistä polynomeista rajallisissa kentissä. Mutta Sawinin ja Shustermanin todisteet vaativat tutkijoita palaamaan ja aloittamaan tyhjästä monessa suhteessa, Sawin sanoi.
"Meillä oli havainto, joka antoi meille mahdollisuuden tehdä temppu ... joka teki geometriasta paljon hienomman, jotta se soveltuu kaikkiin näihin tapauksiin", Shusterman sanoi.
Hänen mukaansa tämä geometrinen temppu johti heidän läpimurtoon: todistamalla, että tämä kaksoisprosessin erityisversio on totta kaikille rajallisissa kentissä oleville polynomille, ei vain joillekin niistä.
Huono uutinen, Sawin sanoi, on se, että koska heidän temppu riippuu suuressa määrin geometriasta, sitä ei todennäköisesti voida käyttää todistamaan itse kaksois-olettamaa. Taustalla oleva matematiikka on aivan liian erilainen.
Shusterman sanoi kuitenkin, että äärellisten kenttien tapauksen todistaminen on iso uusi todiste, joka lisätään kasaan, kiusaaen matemaatikoita mahdollisuudesta, että todiste, jota kaikki odottavat, on jossain.
Se on kuin he haluaisivat nähdä korkean jyrkän vuoren huipun, ja veivät sen sijaan tiensä ylöspäin toiselle lähellä sijaitsevalle vuorelle. He voivat melkein nähdä kaukaisimman huipun, mutta se on varjostettu pilvissä. Ja reitti, jonka he pitivät toisen vuoren huipulle, ei todennäköisesti toimi vuorella, josta he ovat todella kiinnostuneita.
Shusterman kertoi toivovansa jatkaa työskentelyä Sawinin kanssa kaksoisprime-ongelmassa ja että on aina mahdollista, että he oppivat tekemään tämän todistuksen, mikä osoittautuu tärkeäksi todistaa kahden hengen olettamus loppujen lopuksi.
